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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quickly unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Prealgebra

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Bestimmen Sie die vier Lösungen der Gleichung x4 + 8x3 + 24x2 – 112x+ 52 = 0. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 29 4 Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften Gesucht ist eine Gleichung, welche die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5 als Lösungen besitzt. 1. Historisch weckten die Erfolge bei der Auflösung der kubischen und biquadratischen Gleichung fast zwangsläufig den Wunsch, auch für Gleichungen höherer Grade Lösungsformeln zu finden. Damit verbunden entwickelte sich ein Interesse dafür, die prinzipiellen Eigenschaften von Gleichungen noch besser und vor allem systematischer zu studieren.

Dies, obwohl Cardano an anderer Stelle in seiner Ars magna sogar mit solchen Quadratwurzeln aus negativen Zahlen versuchsweise rechnete, als er das Problem zu lösen suchte, zwei Zahlen zu finden, deren Summe gleich 10 und deren Produkt gleich 40 ist. Natürlich wusste schon Cardano, wie man solche Zahlen findet, wenn es sie überhaupt gibt, nämlich als Lösung der quadratischen Gleichung 12 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter XIII. 13 So wies Cardano in einem Brief an Tartaglia 1539, also sechs Jahre vor dem Erscheinen der Ars magna auf diese Problematik hin.

Zwar ist eine Nachprüfung des Vieta’schen Wurzelsatzes, wie die aufgelisteten Gesetzmäßigkeiten auch genannt werden (der Begriff Wurzel wird häufig als Synonym für Lösung gebraucht), durch simples Einsetzen der vorgegebenen Lösungen möglich. Viel interessanter aber ist die Frage, wie man solche Aussagen – auch für mehr als fünf vorgegebene Lösungen – erhält. ( x − x n ) = 0 23 In der Schreibweise von Viète lautet die Gleichung 1QC – 15QQ + 85C – 225Q + 274N, equatur 120. Ein entsprechendes Faksimile samt Übersetzung ist zu finden in Henk J.

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