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By Gisbert Wüstholz

Dieses Buch ist eine moderne Einf?hrung in die Algebra, kompakt geschrieben und mit einem systematischen Aufbau. Der textual content kann f?r eine ein- bis zweisemestrige Vorlesung benutzt werden und deckt alle Themen ab, die f?r eine breite Algebra Ausbildung notwendig sind (Ringtheorie, K?rpertheorie) mit den klassischen Fragen (Quadratur des Kreises, Aufl?sung durch Radikale, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal) bis zur Darstellungstheorie von endlichen Gruppen und einer Einf?hrung in Algebren und Moduln.

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1 Es gilt IGsl = (G: G s ) • Beweis Die Abbildung gG s r-t gs von GIGs nach Gs ist wohldefiniert und eine Bijektion. Denn sie ist trivialerweise surjektiv; gilt g s = h s, so folgt g-I h s = s, d. h. g-lh E G s , also gG s = hG B , woraus die Injektivitat folgt. 1 die Bahngleichung. Die endliche Menge Mist die disjunkte Vereinigung endlich vieler Orbiten, d. h. 1) L(G:G si ). i=1 Wir betrachten nun die Situation, in der eine Gruppe G auf sich selbst durch Konjugation operiert. In diesem Fall ist die Bahn Gg = ad(G)(g) die Konjugationsklasse von g.

Wie sieht der Stabilisator des ersten kanonischen Basisvektors el aus? 25. ) operiere auf ~2 vermoge (t, (x, y)) I-t (tx, y/t). Beschreibe die Bahnen dieser Aktion sowie die zugehorigen Stabilisatoren. zu K apitel 1. 5 26. Zeige, dass es eine Bijektion zwischen den Untergruppen einer Gruppe G, die einen Normalteiler H enthalten, und der Menge der Untergruppen von G / H gibt. 1. 7 Anhang: Der euklidische Algorithmus 29 27. 1st U eine Untergruppe vom Index 2 einer Gruppe G, dann ist U Normalteiler von G und es gilt: G jU ~ Zj2Z.

5. Es sei H ein Normalteiler einer Gruppe G. Zeige, dass G aufl6sbar ist, falls H und G/H es sind. 2 6. Zeige, dass die Ordnungsrelation bei Normalreihen transitiv ist. 7. Bestimme eine Erweiterung der Gruppe 1Jl2 durch die Gruppe IJln, n 2: 3, die kein Produkt ist, d. h. die Form IJln x 1Jl2 besitzt. 8. Bestimme in der Diedergruppe ]]})12 eine Kompositionsreihe. 9. Kann eine unendliche zyklische Gruppe (z. B. Z) eine Kompositionsreihe besitzen? 10. Beweise, dass aIle endlichen p-Gruppen G aufl6sbar sind.

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